在2025年考研数学二中，积分大题的答案如下：
题目：计算定积分 $\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
答案：利用分部积分法，设 $u = x^2$，$dv = \sin x \, dx$，则 $du = 2x \, dx$，$v = -\cos x$。根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：
$$
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x \bigg|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} 2x \cos x \, dx
$$
再次使用分部积分法，设 $u = 2x$，$dv = \cos x \, dx$，则 $du = 2 \, dx$，$v = \sin x$，得到：
$$
\int_0^{\pi} 2x \cos x \, dx = 2x \sin x \bigg|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 2 \sin x \, dx
$$
计算上述积分，得：
$$
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -\pi^2 \cos \pi + 0 + 2(\sin \pi - \sin 0) - 2(-\cos x \bigg|_0^{\pi})
$$
简化后得到：
$$
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = \pi^2 - 2
$$
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