在25年考研数学一中，三重积分的题目设计巧妙，考察了考生对空间几何图形积分的理解与应用。题目中涉及的三重积分问题通常要求考生能够熟练运用积分区域的划分和积分顺序的选取，以下是对该题目的原创解答：
解答：
题目：计算三重积分 $\iiint_{\varOmega} f(x,y,z) \, dV$，其中积分区域 $\varOmega$ 为由 $x^2 + y^2 \leq 1$ 和 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 所围成的空间区域。
解答思路：
1. 首先确定积分区域 $\varOmega$ 的边界，即 $x^2 + y^2 \leq 1$ 和 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$。
2. 利用柱面坐标变换，将积分区域转换为柱面坐标下的积分区域，即 $r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq z \leq r$。
3. 根据变换后的坐标，写出三重积分的表达式，并计算积分。
具体计算过程如下：
$$
\begin{aligned}
\iiint_{\varOmega} f(x,y,z) \, dV &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^r f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) r \, dz \, dr \, d\theta \\
&= \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left[ r^2 f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \right]_0^r \, dr \, d\theta \\
&= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, dr \, d\theta.
\end{aligned}
$$
最终结果为：
$$
\iiint_{\varOmega} f(x,y,z) \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, dr \, d\theta.
$$
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