2011年考研数学2真题解析如下：
一、选择题解析
1. 题目：设函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$的零点。
解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$。故$f'(x)$的零点为$x=\pm1$。
2. 题目：设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$的最小值。
解析：由柯西不等式，有$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a})(b+a)\geq(a+b)^2=1$，即$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq1$。当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时取等号，故最小值为1。
二、填空题解析
1. 题目：设$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sin3x}{x}=L$，求$L$的值。
解析：$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-3\cos3x}{1}=2\cos0-3\cos0=-1$，故$L=-1$。
2. 题目：设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^2$。
解析：$A^2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$。
三、解答题解析
1. 题目：求$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos^2x}}dx$。
解析：令$t=\cos x$，则$dt=-\sin xdx$。当$x=0$时，$t=1$；当$x=\frac{\pi}{2}$时，$t=0$。故原式变为$\int_1^0\frac{-dt}{\sqrt{1+t^2}}=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\sin^{-1}t\big|_0^1=\frac{\pi}{2}$。
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