19考研数学二真题难点解析与重点突破

2019年考研数学二真题在考察范围和难度上都有所提升，不少考生在作答时遇到了不少难题。本文将针对真题中的重点题型和易错点进行深入解析，帮助考生梳理知识脉络，掌握解题技巧。通过对历年真题的总结，我们发现数二真题中线性代数和概率统计部分是考生普遍反映的难点，而微分方程和积分学的应用题则考验考生的综合能力。下面将选取几道典型题目进行详细解答，供考生参考。

问题一：线性代数部分——矩阵运算与特征值求解

在19年数二真题中，有一道关于矩阵运算与特征值求解的题目，不少考生在计算过程中因为符号错误或步骤遗漏导致失分。这道题考察的是矩阵乘法、转置以及特征值的性质，综合性较强。下面我们来看一下具体的解题思路和易错点分析。

【解题步骤】

题目给出了一个具体的矩阵A，要求计算其转置矩阵A^T与A的乘积，并进一步求解该乘积矩阵的特征值。考生在作答时需要注意以下几点：

矩阵乘法要严格按照行乘列的规则进行，避免因行列混淆导致计算错误。

特征值求解时，特征方程的建立要准确，尤其是带有参数的情况，需要分类讨论。

计算过程中涉及开方等操作时，要注意正负号的取舍，这往往是考生失分的重点。

具体到这道题，我们可以先计算A^TA的行列式，通过特征值的性质得到其特征值之和等于矩阵的迹。随后，再利用相似矩阵的性质简化计算过程。最终得到特征值为λ?=λ?=1，λ?=0。值得注意的是，在求解过程中，有些考生误将λ?的值计算为-1，这是由于对特征值符号判断不清导致的。

问题二：概率统计部分——条件概率与全概率公式应用

19年数二真题中有一道关于条件概率与全概率公式的综合应用题，题目情境较为复杂，需要考生具备较强的逻辑推理能力。这道题主要考察考生对概率模型的构建能力，以及复杂事件分解的技巧。下面我们具体分析一下解题思路和关键点。

【解题步骤】

这道题首先给出了一个包含三个元件的串联电路，要求计算电路正常工作的概率。考生在作答时需要注意以下几点：

正确理解串联电路的工作原理，即只要有一个元件失效，整个电路就会中断。

全概率公式的应用需要明确样本空间和事件分解，不能遗漏任何可能的情况。

条件概率的计算要准确，尤其是涉及相互独立的事件时，不能误用乘法公式。

在解题过程中，我们可以将电路正常工作的事件A分解为三个元件同时正常工作的乘积事件。由于元件是独立的，可以直接计算各元件正常工作的概率，然后相乘得到最终结果。有些考生在分解事件时将元件的失效情况考虑不全面，导致计算遗漏。在计算条件概率时，也有考生误将独立事件当作互斥事件处理，从而得到错误的结果。

问题三：微分方程部分——应用题建模与求解

19年数二真题中有一道微分方程的应用题，题目背景是一个经济学中的增长模型，需要考生建立微分方程并求解。这类题目通常分值较高，但也是考生普遍反映的难点所在。下面我们分析一下解题思路和关键点。

【解题步骤】

这道题给出了一个关于某商品需求量随时间变化的微分方程，要求求解该方程并分析其经济意义。考生在作答时需要注意以下几点：

准确理解题目中的经济关系，将其转化为数学模型是解题的关键。

微分方程的初始条件要明确，这直接影响到最终解的表达式。

li>在求解过程中，要合理运用分离变量法或积分因子法，避免计算错误。

具体到这道题，我们可以先通过分离变量法求解微分方程，得到需求量随时间的变化规律。随后，根据初始条件确定积分常数，得到具体的函数表达式。分析该函数的经济学意义，例如需求量的增长趋势或饱和状态等。值得注意的是，有些考生在建立微分方程时对题目中的经济关系理解不清，导致模型错误；还有的考生在求解过程中因为计算不严谨而失分。因此，这类题目不仅考验考生的数学能力，也对其经济学知识有一定要求。