2021年数学三考研真题第7题如下：
题目：设函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，求$f'(0)$。
解答：由导数的定义知，$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。
代入$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，得$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+(x+h)^2} - \frac{1}{1+x^2}}{h}$。
化简得$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+x^2 - (1+(x+h)^2))}{h(1+x^2)(1+(x+h)^2)}$。
进一步化简得$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h(1+x^2)(1+(x+h)^2)}$。
因为分子分母都含有因子$h$，可以约去，得$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{(1+x^2)(1+(x+h)^2)}$。
当$h \to 0$时，$f'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$。
所以$f'(0) = \frac{-2 \times 0}{(1+0^2)^2} = 0$。
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