在考研数学中，常数项级数题是考察考生对级数收敛性和求和技巧的典型题目。这类题目往往涉及级数的收敛性判别、求和公式以及级数展开等知识点。以下是一个原创的常数项级数题解答：
题目：已知级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n(n+1)}\)，判断其收敛性，并求出其和。
解答：
首先，我们观察级数的通项 \(a_n = \frac{2^n}{3^n(n+1)}\)，可以化简为 \(a_n = \frac{1}{3^n}\frac{2^n}{n+1}\)。
接下来，我们使用比值判别法来判断级数的收敛性。计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3^{n+1}}\frac{2^{n+1}}{n+2}}{\frac{1}{3^n}\frac{2^n}{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{n+1}{n+2} = \frac{2}{3} < 1
\]
由于比值小于1，根据比值判别法，原级数收敛。
接下来，我们求级数的和。由于级数收敛，我们可以尝试使用级数展开的方法。观察到 \(\frac{2^n}{3^n}\) 可以看作是 \((\frac{2}{3})^n\) 的形式，而 \(\frac{1}{n+1}\) 是调和级数的一部分，我们可以尝试将其与几何级数相乘。
我们知道，几何级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\) 的和为 \(\frac{1}{1-x}\)（当 \(|x| < 1\) 时）。因此，我们可以将 \(\frac{2^n}{3^n}\) 视为 \((\frac{2}{3})^n\)，然后乘以调和级数的一部分，得到：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{1-\frac{2}{3}} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = 3 \cdot (\ln 2 - 1)
\]
因此，级数的和为 \(3(\ln 2 - 1)\)。
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