在19年的考研数学中，一道令人印象深刻的积分题目如下：
已知函数 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，且满足 \( f'(x) = \sqrt{1 - f^2(x)} \)，求 \( f(0) + f(1) \) 的值。
解题过程如下：
1. 首先，对等式 \( f'(x) = \sqrt{1 - f^2(x)} \) 两边同时平方，得到 \( f'^2(x) = 1 - f^2(x) \)。
2. 整理得 \( f'^2(x) + f^2(x) = 1 \)，这是一个典型的三角函数形式。
3. 将 \( f(x) \) 视为直角三角形的斜边，则 \( f'(x) \) 为直角三角形的对边。因此，可以构造直角三角形，其中 \( f(x) \) 和 \( f'(x) \) 分别为斜边和对边。
4. 根据直角三角形的性质，可以得到 \( f(x) = \sin(\theta) \) 和 \( f'(x) = \cos(\theta) \)，其中 \( \theta \) 为直角三角形的内角。
5. 将 \( f(x) \) 和 \( f'(x) \) 的表达式代入原等式，得到 \( \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} \)，即 \( \cos(\theta) = |\cos(\theta)| \)。
6. 因为 \( f'(x) = \cos(\theta) \)，所以 \( f'(x) \geq 0 \)。因此，\( \theta \) 的取值范围为 \( [0, \frac{\pi}{2}] \)。
7. 在区间 \([0,1]\) 上，\( f(x) \) 为单调递增函数，因此 \( f(0) = \sin(0) = 0 \) 和 \( f(1) = \sin(1) \)。
8. 最后，求 \( f(0) + f(1) = 0 + \sin(1) = \sin(1) \)。
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