在无穷级数求和的考研题目中，关键在于识别级数的类型和适用求和公式。以下是一道典型的无穷级数求和题目：
题目：已知级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{2^{n+1}}\)，求该级数的和 \(S\)。
解题过程：
首先，观察级数 \(\frac{3^n}{2^{n+1}}\)，可以将其简化为 \(\frac{3^n}{2 \cdot 2^n} = \frac{3^n}{2^{n+1}} = \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^n\)。
这是一个等比级数，其公比 \(q = \frac{3}{2}\)。由于 \(|q| = \frac{3}{2} > 1\)，根据等比级数的性质，该级数发散。
然而，在考研题目中，有时会要求求解这类级数的部分和。在这种情况下，我们可以使用等比级数的部分和公式：
\[ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \]
其中，\(a_1\) 是级数的首项，\(q\) 是公比，\(n\) 是项数。
代入我们的级数，得到：
\[ S_n = \frac{\frac{3}{2}\left(1 - \left(\frac{3}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\left(\frac{1 - \left(\frac{3}{2}\right)^n}{-\frac{1}{2}}\right) = 3\left(1 - \left(\frac{3}{2}\right)^n\right) \]
当 \(n\) 趋于无穷大时，\(\left(\frac{3}{2}\right)^n\) 趋于无穷大，因此 \(S_n\) 趋于 \(3\)。
综上所述，该无穷级数的和为 \(S = 3\)。
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