在数学考研中，一道典型的题目可能是：
题目：设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，求证：对于任意实数$x$，都有$f(x) + f(1/x) \leq 2$。
解题步骤：
1. 分析函数性质：首先，观察函数$f(x)$，可以发现它是一个偶函数，即$f(x) = f(-x)$。这是因为$x^2$在$x$的正负值下均保持不变。
2. 应用不等式：为了证明题目中的不等式，我们可以考虑使用基本不等式。由于$x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2$（根据算术平均数-几何平均数不等式），我们可以得到：
$$f(x) + f(1/x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{1+x^2}{1+x^2} = 1 + \frac{x^2}{1+x^2}.$$
3. 进一步分析：现在，我们需要证明$1 + \frac{x^2}{1+x^2} \leq 2$。为了做到这一点，我们可以将不等式重新排列：
$$1 + \frac{x^2}{1+x^2} \leq 2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{1+x^2} \leq 1 \Leftrightarrow x^2 \leq 1+x^2 \Leftrightarrow 0 \leq 1.$$
这个不等式显然是成立的。
4. 结论：因此，我们证明了对于任意实数$x$，都有$f(x) + f(1/x) \leq 2$。
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