2011年考研数学二真题及答案如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = \ln(1+x) \)，则 \( f'(0) \) 等于：
A. 0 B. 1 C. \(\frac{1}{2}\) D. \(-\frac{1}{2}\)
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) 等于：
A. 0 B. \(\frac{1}{2}\) C. 1 D. -1
3. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶可逆矩阵，\( B \) 为 \( n \) 阶矩阵，则 \( AB \) 可逆的充要条件是：
A. \( A \) 可逆且 \( B \) 不可逆 B. \( A \) 不可逆且 \( B \) 可逆
C. \( A \) 和 \( B \) 都可逆 D. \( A \) 和 \( B \) 都不可逆
二、填空题
4. \( \int \frac{1}{x^2 - 4} \, dx = \frac{1}{2} \ln | \frac{x-2}{x+2} | + C \)
5. 设 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (4, 5, 6) \)，则 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 32 \)
三、解答题
6. 解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = 0 \)
7. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A^{-1} \)
8. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)
四、证明题
9. 证明：若 \( a, b \) 是方程 \( x^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，则 \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)
五、应用题
10. 设 \( x \) 为连续变量，\( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 上连续，证明：\( \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 f(\sin x) \, dx \)
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