题目：已知函数 \( f(x, y) = e^{x^2 + y^2} \)，求由曲面 \( z = f(x, y) \) 与平面 \( z = 1 \) 所围成的立体的体积。
解题步骤：
1. 首先，确定积分区域 \( D \)。由于 \( z = 1 \) 与 \( f(x, y) = e^{x^2 + y^2} \) 相交，因此 \( e^{x^2 + y^2} = 1 \)，即 \( x^2 + y^2 = 0 \)。这说明积分区域 \( D \) 是单位圆盘 \( x^2 + y^2 \leq 1 \)。
2. 接下来，设置三重积分来计算体积 \( V \)。体积 \( V \) 可以表示为：
\[ V = \iiint_D f(x, y, z) \, dV \]
由于 \( z = 1 \) 是常数，我们可以简化积分为：
\[ V = \iint_D 1 \, dA \]
其中 \( dA \) 是在 \( D \) 上的面积元素。
3. 转换为极坐标，令 \( x = r\cos\theta \)，\( y = r\sin\theta \)，则 \( dA = r \, dr \, d\theta \)。
4. 积分范围为 \( 0 \leq r \leq 1 \) 和 \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \)。
5. 计算积分：
\[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r \, dr \, d\theta \]
\[ V = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{1}{2}r^2 \right]_0^1 \, d\theta \]
\[ V = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\theta \]
\[ V = \frac{1}{2} \times 2\pi \]
\[ V = \pi \]
因此，所求立体的体积为 \( \pi \)。
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