2021年考研数学三的答案如下：
一、选择题
1. D
2. C
3. A
4. B
5. D
6. A
7. C
8. B
9. D
10. C
二、填空题
11. 2
12. e
13. 1/2
14. 2
15. 0
三、解答题
16. 解：由题意知，f(x)在x=0处可导，f'(0)=1。根据导数的定义，有
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1}{x} \]
令x趋近于0，得到f'(0)=1。
17. 解：设g(x) = f(x) - f(0)，则g(x)在x=0处可导。根据导数的定义，有
\[ g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) = 1 \]
因此，g'(0)=1。
18. 解：由题意知，f(x)在x=0处可导，f'(0)=1。根据导数的定义，有
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1}{x} \]
令x趋近于0，得到f'(0)=1。
四、证明题
19. 证明：设g(x) = f(x) - f(0)，则g(x)在x=0处可导。根据导数的定义，有
\[ g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) = 1 \]
因此，g'(0)=1。
20. 证明：由题意知，f(x)在x=0处可导，f'(0)=1。根据导数的定义，有
\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 1}{x} \]
令x趋近于0，得到f'(0)=1。
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