考研幂级数的收敛半径和收敛域是数学分析中的重要知识点。幂级数的一般形式为\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]，其中\( a_n \)是系数，\( x_0 \)是级数的中心点。幂级数的收敛半径\( R \)可以通过以下公式计算：\[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \]而收敛域则是幂级数收敛的所有\( x \)值的集合。具体来说，收敛域可能包括以下几种情况：
1. 收敛半径\( R \)为无穷大：此时幂级数在整个实数轴上收敛，即收敛域为\( (-\infty, +\infty) \)。
2. 收敛半径\( R \)为有限值：此时幂级数在\( x_0 \)为中心，半径为\( R \)的区间内收敛。具体而言，收敛域为\( [x_0-R, x_0+R] \)。
3. 收敛半径\( R \)为零：此时幂级数仅在\( x_0 \)处收敛，收敛域仅为单个点\( x_0 \)。
需要注意的是，幂级数在收敛区间的端点可能收敛也可能发散。因此，在确定收敛域时，还需要对端点进行单独的讨论。
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