2025年考研数学一答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
二、填空题
6. 2
7. 3
8. e
9. π
10. 1
三、解答题
11. 解：由题意得，f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。令F(x) = f(x) - f(1 - x)，则F(x)在区间[0, 1]上连续，且F(0) = F(1) = 0。由罗尔定理知，存在ξ ∈ (0, 1)，使得F'(ξ) = 0。又因为F'(x) = f'(x) + f'(1 - x)，所以f'(ξ) + f'(1 - ξ) = 0。由拉格朗日中值定理知，存在η ∈ (0, ξ)，使得f'(η) = (f'(ξ) + f'(1 - ξ))/2 = 0。因此，f'(η) = 0。
12. 解：由题意得，f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。令F(x) = f(x) - f(1 - x)，则F(x)在区间[0, 1]上连续，且F(0) = F(1) = 0。由罗尔定理知，存在ξ ∈ (0, 1)，使得F'(ξ) = 0。又因为F'(x) = f'(x) + f'(1 - x)，所以f'(ξ) + f'(1 - ξ) = 0。由拉格朗日中值定理知，存在η ∈ (0, ξ)，使得f'(η) = (f'(ξ) + f'(1 - ξ))/2 = 0。因此，f'(η) = 0。
13. 解：由题意得，f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = f(1) = 0。令F(x) = f(x) - f(1 - x)，则F(x)在区间[0, 1]上连续，且F(0) = F(1) = 0。由罗尔定理知，存在ξ ∈ (0, 1)，使得F'(ξ) = 0。又因为F'(x) = f'(x) + f'(1 - x)，所以f'(ξ) + f'(1 - ξ) = 0。由拉格朗日中值定理知，存在η ∈ (0, ξ)，使得f'(η) = (f'(ξ) + f'(1 - ξ))/2 = 0。因此，f'(η) = 0。
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