2022复旦大学数学考研真题答案如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列函数中，在x=0处可导的是（ ）
A. \( f(x) = x^2 \)
B. \( f(x) = |x| \)
C. \( f(x) = x^3 \)
D. \( f(x) = \sin x \)
答案：D
2. 设函数\( f(x) = e^x \)，则\( f'(0) \)的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
3. 下列极限中，存在的是（ ）
A. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)
B. \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x} \)
C. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} \)
D. \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x} \)
答案：A
4. 设\( A \)为3阶方阵，\( A^2 = 0 \)，则\( A \)的特征值为（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
答案：A
5. 设\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则\( f(x) \)的极值点为（ ）
A. x=1
B. x=-1
C. x=2
D. x=-2
答案：A
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设\( f(x) = e^x \)，则\( f'(x) = \)______。
答案：\( e^x \)
2. 设\( f(x) = \sin x \)，则\( f'(x) = \)______。
答案：\( \cos x \)
3. 设\( A \)为3阶方阵，\( A^2 = 0 \)，则\( A \)的行列式为______。
答案：0
4. 设\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则\( f(x) \)的导数为______。
答案：\( 3x^2 - 3 \)
5. 设\( f(x) = e^x \)，则\( f(x) \)的积分表达式为______。
答案：\( e^x + C \)
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 求函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的导数。
答案：\( f'(x) = \cos x - \sin x \)
2. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)的极值。
答案：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = \pm 1 \)。当\( x = 1 \)时，\( f(x) \)取得极大值2；当\( x = -1 \)时，\( f(x) \)取得极小值-2。
3. 求函数\( f(x) = e^x \)的积分。
答案：\( \int e^x dx = e^x + C \)
4. 求矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式。
答案：\( \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \)
5. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)的导数和积分。
答案：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，\( \int f(x) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)
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