2022年考研数学一卷真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1} \)，则 \( f'(1) \) 的值为：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 不存在
2. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = A \)，则 \( A \) 的特征值可能为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
3. 若 \( \int_0^1 f(x) \, dx = 2 \)，则 \( \int_0^1 x f(x) \, dx \) 的值为：
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4. 设 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处可导，且 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x^2} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \) 的值为：
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 设 \( f(x) = e^x \sin x \)，则 \( f''(0) \) 的值为 _______。
7. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 可逆矩阵，\( \lambda \) 是 \( A \) 的一个特征值，则 \( A^{-1} \) 的特征值为 _______。
8. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f(x) \) 的反函数为 _______。
9. 设 \( \int_0^1 x^2 e^x \, dx \) 的值为 _______。
10. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \) 的值为 _______。
三、解答题（每题15分，共45分）
11. 解微分方程 \( y'' - 4y = 2\sin 2x \)。
12. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极值。
13. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( A \) 的行列式 \( |A| = 3 \)，求 \( \det(2A) \)。
四、证明题（每题20分，共40分）
14. 证明：若 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上连续，在 \( (a, b) \) 内可导，且 \( f'(x) \) 在 \( (a, b) \) 内不变号，则 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上单调。
15. 证明：若 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上连续，在 \( (a, b) \) 内可导，且 \( f'(x) \) 在 \( (a, b) \) 内恒大于0，则 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上单调递增。
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