2024年考研数学一真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. D
4. B
5. C
6. A
7. D
8. B
9. C
10. D
二、填空题
11. 1/3
12. 2π
13. 0
14. 2
15. 1
三、解答题
16.
设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(x)的极值点。
解：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。
当x = -1时，f''(x) = 6 > 0，故x = -1是f(x)的极小值点，f(-1) = -1 - 3 + 1 = -3。
当x = 1时，f''(x) = -6 < 0，故x = 1是f(x)的极大值点，f(1) = 1 - 3 + 1 = -1。
17.
设f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(x)在[-1, 3]上的最大值和最小值。
解：f'(x) = 2x + 2，令f'(x) = 0，得x = -1。
当x = -1时，f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0。
当x = 3时，f(3) = 3^2 + 2(3) + 1 = 14。
所以f(x)在[-1, 3]上的最大值为14，最小值为0。
18.
设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的拐点。
解：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。
当x = -1时，f''(x) = 6 > 0，故x = -1是f(x)的拐点，f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4。
当x = 1时，f''(x) = -6 < 0，故x = 1是f(x)的拐点，f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0。
所以f(x)的拐点为(-1, 4)和(1, 0)。
19.
设A = |a1 a2 a3|，B = |b1 b2 b3|，C = |c1 c2 c3|，其中a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3均为实数。求证：|AB| ≤ |AC| + |BC|。
证明：由柯西-施瓦茨不等式，得
|AB|^2 ≤ (|a1|^2 + |a2|^2 + |a3|^2)(|b1|^2 + |b2|^2 + |b3|^2) = |A|^2|B|^2。
同理，得|AC|^2 ≤ |A|^2|C|^2，|BC|^2 ≤ |B|^2|C|^2。
所以|AB|^2 ≤ |AC|^2 + |BC|^2，即|AB| ≤ |AC| + |BC|。
20.
设A为3×3矩阵，|A| = 2，求|2A|的值。
解：|2A| = 2^3|A| = 2^3×2 = 16。
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