在备战考研数学的高数部分时，一份精心设计的模拟卷至关重要。以下是一份原创的高数模拟试卷，旨在帮助考生检验并提升自己的解题能力：
考研数学高数模拟试卷
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则$f'(0)$的值为：
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $0$
D. 无极限
2. 下列级数中，收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^n}$
3. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x}$的值为：
A. $a$
B. $1$
C. $0$
D. 不存在
4. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值点为：
A. $x = -1$
B. $x = 1$
C. $x = -2$
D. $x = 2$
5. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，则$\det(A^{-1})$的值为：
A. $\det(A)$
B. $\frac{1}{\det(A)}$
C. $1$
D. $-1$
二、填空题（每题5分，共20分）
6. $\int \frac{1}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C$
7. 函数$f(x) = e^x - e^{-x}$的奇偶性为______。
8. 若$f(x) = \ln(x+1)$，则$f'(x) = \frac{1}{x+1}$。
9. 二阶线性微分方程$y'' - 2y' + y = 0$的通解为$y = C_1 e^x + C_2 e^x$。
10. 矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$的行列式为______。
三、解答题（每题20分，共40分）
11. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - \sin(x)}{x}$。
12. 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$的导数。
四、证明题（20分）
13. 证明：若$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
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