2020年考研数学三第15题是一道关于线性代数的题目，具体如下：
已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答如下：
首先，我们需要求出矩阵 \( A \) 的特征多项式。特征多项式 \( f(\lambda) \) 可以通过计算 \( \det(A - \lambda I) \) 得到，其中 \( I \) 是单位矩阵。对于本题，我们有：
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix} \]
接下来，计算 \( \det(A - \lambda I) \)：
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\begin{vmatrix} 5-\lambda & 6 \\ 8 & 9-\lambda \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9-\lambda \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 4 & 5-\lambda \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \]
\[ = (1-\lambda)((5-\lambda)(9-\lambda) - 48) - 2(36 - 7\lambda) + 3(32 - 5\lambda - 7\lambda) \]
\[ = (1-\lambda)(\lambda^2 - 14\lambda + 13) - 72 + 14\lambda + 96 - 30\lambda \]
\[ = \lambda^3 - 15\lambda^2 + 39\lambda - 25 \]
令 \( f(\lambda) = 0 \)，解得特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 5 \)，\( \lambda_3 = 5 \)。
接下来，求对应于每个特征值的特征向量。以 \( \lambda_1 = 1 \) 为例，我们需要解线性方程组 \( (A - I)x = 0 \)：
\[ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过初等行变换，我们得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
因此，\( x_1 = -x_3 \)，\( x_2 = x_3 \)。取 \( x_3 = 1 \)，得到特征向量 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
类似地，对于 \( \lambda_2 = 5 \) 和 \( \lambda_3 = 5 \)，我们可以得到特征向量 \( \alpha_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \alpha_3 = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
至此，我们已经求出了矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
【考研刷题通】小程序，助你高效备考，政治、英语、数学等全部考研科目刷题无忧。立即加入，开启你的考研刷题之旅！