在2012年的考研数学三中，考生们面临了一系列的数学难题。以下是针对部分真题的原创解析：
1. 解析一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。本题中，$a = 1, b = -3, c = 2$，代入公式计算得：$x_1 = 2, x_2 = 1$。
2. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值和最小值。首先求导：$f'(x) = 3x^2 - 6x$，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 2$。由于 $x = 0$ 不在区间 $[1, 2]$ 内，故只需比较 $f(1) = 2$ 和 $f(2) = 4$，得最大值为 $4$，最小值为 $2$。
3. 计算定积分 $\int_0^{\pi} (1 + \cos x) \, dx$。根据三角恒等变换，$\int_0^{\pi} \cos x \, dx = 0$，所以 $\int_0^{\pi} (1 + \cos x) \, dx = \int_0^{\pi} 1 \, dx = \pi$。
4. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求 $A$ 的逆矩阵。通过初等行变换，$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
5. 设 $x$ 为实数，证明：$\frac{1}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 2} \geq \frac{4}{x^2 + 3}$。令 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{1}{x^2 + 2} - \frac{4}{x^2 + 3}$，求导得 $f'(x) = \frac{2(x^2 - 2)}{(x^2 + 1)(x^2 + 2)(x^2 + 3)^2}$。当 $x^2 > 2$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x^2 < 2$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减。又 $f(0) = 0$，故 $f(x) \geq 0$。
以上解析仅供参考，希望对考生有所帮助。备考考研，刷题是关键。现在向您推荐一款实用的考研刷题小程序——【考研刷题通】，包括政治刷题，英语刷题，数学等全部考研科目，助您轻松备考，成功上岸！微信扫一扫，即刻体验！