2017年数学二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = x^2 \)
C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
D. \( f(x) = \sqrt{x} \)
答案：B
解析：函数 \( f(x) = x^2 \) 在实数域上连续且可导。
2. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) \) 等于（ ）
A. \( e^x \)
B. \( e^x \cdot x \)
C. \( e^x \cdot \ln x \)
D. \( e^x \cdot \frac{1}{x} \)
答案：A
解析：函数 \( f(x) = e^x \) 的导数 \( f'(x) = e^x \)。
3. 设 \( f(x) = \ln x \)，则 \( f''(x) \) 等于（ ）
A. \( \frac{1}{x^2} \)
B. \( -\frac{1}{x^2} \)
C. \( \frac{1}{x} \)
D. \( -\frac{1}{x} \)
答案：A
解析：函数 \( f(x) = \ln x \) 的二阶导数 \( f''(x) = \frac{1}{x^2} \)。
二、填空题
4. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(x) \) 等于（ ）
答案：\( 3x^2 - 3 \)
解析：根据导数的定义，\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
5. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f''(x) \) 等于（ ）
答案：\( -\frac{2}{x^3} \)
解析：根据导数的定义，\( f''(x) = -\frac{2}{x^3} \)。
三、解答题
6. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：1
解析：根据洛必达法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \)。
7. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极值。
答案：极大值 \( f(1) = 0 \)，极小值 \( f(-1) = 0 \)。
解析：首先求导 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = \pm 1 \)。然后分别计算 \( f(1) \) 和 \( f(-1) \)，得极大值 \( f(1) = 0 \)，极小值 \( f(-1) = 0 \)。
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