在2023年考研数学真题中，线性代数的题目尤为考验考生的综合能力。一道关于矩阵特征值的题目，通过巧妙地运用行列式的性质和特征值的基本公式，成功解决了问题。以下是对该题的详细解析：
题目：已知矩阵A=\(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)，求A的特征值。
解题步骤如下：
1. 求特征多项式：首先计算矩阵A的特征多项式\(f(\lambda) = \det(A - \lambda I)\)，其中I是单位矩阵。计算得：
\[ f(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 \]
2. 求解特征值：接下来，将特征多项式\(f(\lambda)\)设为0，解得特征值：
\[ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \]
\[ (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 \]
\[ \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 \]
因此，矩阵A的特征值为1和3。
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