在数学考研的道路上，真题和答案无疑是最宝贵的财富。通过深入研究历年真题，考生可以全面了解考研数学的命题趋势和解题技巧。以下是一些精选的数学考研真题及其答案，希望对您的备考之路有所帮助。
1. 真题：设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求$f(x)$的极值。
答案：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$。令$f'(x) = 0$，得$x = -1$或$x = 1$。经检验，$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，故$f(x)$的极值为0。
2. 真题：若$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$存在，求其值。
答案：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2} \cdot 2 = \frac{1}{2}$。
3. 真题：设$A$，$B$，$C$为平面上的三个非共线点，证明：$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$。
答案：设$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$，$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$，$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$。则$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$。由向量加法，得$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \overrightarrow{0}$。两边同时乘以$\vec{a}$，得$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$。同理可得$\vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$和$\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} = 0$。将三个等式相加，得$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$。
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