2014年数二考研真题答案如下：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)=\boxed{0}$。
2. 设$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{a+b}$的充分必要条件是$\boxed{a=b}$。
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}$，则$A+B=\boxed{\begin{bmatrix}6 & 8\\10 & 12\end{bmatrix}}$。
2. 设$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f'(1)=\boxed{2}$。
3. 设$a=1$，$b=2$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\boxed{\ln 2}$。
4. 设$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f'(0)=\boxed{1}$。
三、解答题（共70分）
1. （10分）设$f(x)=x^3-3x+2$，求$f'(x)$。
解：$f'(x)=3x^2-3$。
2. （15分）设$a>0$，$b>0$，证明：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{a+b}$。
证明：由柯西不等式得：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\leq(a+b)(1+1)$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2(a+b)}$。
当且仅当$a=b$时，等号成立。
3. （15分）设$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}$，求$A+B$。
解：$A+B=\begin{bmatrix}1+5 & 2+6\\3+7 & 4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 8\\10 & 12\end{bmatrix}$。
4. （15分）设$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求$f'(1)$。
解：$f'(x)=\frac{(x-1)(2x)-(x^2-1)(1)}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2+1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x+1}{(x-1)^2}$。
当$x=1$时，$f'(1)=\frac{1^2-2\times1+1}{(1-1)^2}$，由于分母为0，所以$f'(1)$不存在。
5. （15分）设$a=1$，$b=2$，求$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-b^x}{x}$。
解：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-b^x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x\ln a}-e^{x\ln b}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x\ln a}(1-e^{x(\ln b-\ln a)})}{x}=\ln a\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-e^{x(\ln b-\ln a)}}{x(\ln b-\ln a)}=\ln a\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x(\ln b-\ln a)}{x(\ln b-\ln a)}=\ln a$。
6. （15分）设$f(x)=\sin x+\cos x$，求$f'(0)$。
解：$f'(x)=\cos x-\sin x$，$f'(0)=\cos 0-\sin 0=1-0=1$。
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