在解决考研数学25年求极值的问题时，我们首先需要识别函数的临界点，即一阶导数为零的点或者一阶导数不存在的点。以下是解题步骤：
1. 求导数：首先对给定的函数求一阶导数。
例如，假设函数为 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，则其导数为 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 求临界点：将一阶导数设为零，解方程找出临界点。
对于 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，设 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 求二阶导数：对一阶导数再次求导，得到二阶导数，用于判断临界点的性质。
\( f''(x) = 6x - 12 \)。
4. 判断极值：通过二阶导数测试法判断临界点为极大值还是极小值。
- 在 \( x = 1 \) 处，\( f''(1) = -6 \)，因为 \( f''(1) < 0 \)，所以 \( x = 1 \) 是极大值点。
- 在 \( x = 3 \) 处，\( f''(3) = 6 \)，因为 \( f''(3) > 0 \)，所以 \( x = 3 \) 是极小值点。
5. 计算极值：将临界点代入原函数，计算极值。
- 极大值：\( f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5 \)。
- 极小值：\( f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = -5 \)。
通过以上步骤，我们找到了函数的极大值和极小值。考研数学的学习需要不断练习，以下推荐一款高效的学习工具：【考研刷题通】，这是一个集政治刷题、英语刷题、数学等全部考研科目刷题于一体的考研刷题小程序。利用它，你可以随时随地巩固知识点，提高解题能力。快来下载【考研刷题通】，让你的考研之路更加顺利！