考研数学三的真题及答案在证明题部分，展现了考生对高等数学、线性代数和概率论与数理统计等知识的综合运用。以下是一则关于证明题部分的解题示例：
【解题示例】
设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，证明：若 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( f(x) = 0 \) 的两个不相等的实数根，则 \( x_1 + x_2 + x_1x_2 = 0 \)。
【证明过程】
首先，根据罗尔定理，因为 \( f(x) \) 在实数域内连续，在开区间 \( (-\infty, +\infty) \) 内可导，且 \( f(-1) = -2 \) 和 \( f(1) = -2 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (-1, 1) \) 内至少存在一点 \( \xi \) 使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
接着，对 \( f(x) \) 求导，得 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。令 \( f'(\xi) = 0 \)，解得 \( \xi = \pm 1 \)。因此，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, -1) \) 和 \( (1, +\infty) \) 内单调递增。
又因为 \( f(x) \) 是三次多项式，其图像在 \( (-\infty, -1) \) 和 \( (1, +\infty) \) 内分别有两个零点。设这两个零点为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，则有 \( x_1 < -1 \) 和 \( x_2 > 1 \)。
接下来，由 \( f(x_1) = 0 \) 和 \( f(x_2) = 0 \)，可得 \( x_1^3 - 3x_1 = 0 \) 和 \( x_2^3 - 3x_2 = 0 \)。对这两个等式同时加上 \( x_1^2x_2 \) 和 \( x_1x_2^2 \)，得 \( x_1^3 + x_1^2x_2 = 3x_1 \) 和 \( x_2^3 + x_1x_2^2 = 3x_2 \)。
将这两个等式相加，得 \( (x_1 + x_2)^3 + x_1x_2(x_1 + x_2) = 3(x_1 + x_2) \)。由 \( x_1x_2 \neq 0 \)，可得 \( x_1 + x_2 + x_1x_2 = 0 \)。
综上所述，得证。
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