数学一考研真题及答案如下：
1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值。
答案：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，得$x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3}$。当$x \in (-\infty, 1), (1, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, +\infty)$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$x \in (\frac{2}{3}, 1)$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减。故$x_1 = 1$是极大值点，$f(1) = 3$；$x_2 = \frac{2}{3}$是极小值点，$f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{27}$。
2. 已知$A$，$B$，$C$为三角形的三顶点，$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，求三角形$ABC$的面积。
答案：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$。$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AC}| = 1$，$\cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。$\sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^2 \angle BAC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。$\text{S}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$。
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