数学三考研真题2025年第17题的解析如下：
题目：设函数 \( f(x) = \ln(x^2 - 1) \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([1, 2]\) 上的最大值和最小值。
解答过程：
1. 首先，确定函数的定义域。由于 \( \ln(x^2 - 1) \) 中 \( x^2 - 1 \) 必须大于0，因此函数的定义域为 \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)。由于题目中给出区间为 \([1, 2]\)，故只需考虑 \( x \in (1, +\infty) \)。
2. 求导数。\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} \)。
3. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 0 \)（舍去，不在定义域内）。因此，函数在区间 \([1, 2]\) 上无驻点。
4. 由于 \( f'(x) > 0 \) 在 \( x \in (1, +\infty) \) 上恒成立，故 \( f(x) \) 在 \([1, 2]\) 上单调递增。
5. 因此，\( f(x) \) 在 \([1, 2]\) 上的最小值为 \( f(1) = \ln(0) \)，此时无最小值。
6. 最大值为 \( f(2) = \ln(3) \)。
所以，\( f(x) \) 在区间 \([1, 2]\) 上的最大值为 \( \ln(3) \)，最小值不存在。
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