2021年考研数学真题115题解析如下：
一、选择题
1. 下列选项中，函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的定义域为（ ）
A. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$
B. $(-\infty, +\infty)$
C. $(-\infty, 0] \cup [0, +\infty)$
D. $(-\infty, 0) \cup [0, +\infty)$
答案：A
2. 若 $f(x) = x^2 + 2x + 1$，则 $f'(x)$ 为（ ）
A. $2x + 2$
B. $2x$
C. $2x + 1$
D. $2x^2 + 2$
答案：A
二、填空题
3. 设 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则 $f'(x)$ 的值为______。
答案：$\frac{2x}{x^2 + 1}$
4. 设 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值为______。
答案：$\sqrt{6} + \frac{2}{\sqrt{6}}$
三、解答题
5. 已知函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。
答案：$f'(x) = 3x^2 - 3, f''(x) = 6x$
6. 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$。
答案：$-\frac{1}{6}$
7. 已知函数 $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$，求 $f'(x)$。
答案：$f'(x) = \frac{e^x(x - 1) + 1}{x^2}$
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