在解析2021年考研数学二第10题时，我们可以从以下几个方面入手：
题目回顾：
设函数\( f(x) \)在\([-1, 1]\)上连续，\( f(0) = 0 \)，若存在\( \epsilon > 0 \)，使得对任意\( x \in [-1, 1] \)，都有\( f(x) \geq \epsilon x^2 \)，则\( \epsilon \)的最小值为多少？
解题思路：
1. 函数分析：首先，根据题意，函数\( f(x) \)在\([-1, 1]\)上连续，且\( f(0) = 0 \)。这意味着在区间\([-1, 1]\)内，\( f(x) \)的图形不会出现间断点，且在\( x = 0 \)处与x轴相交。
2. 不等式转化：根据题目中的不等式\( f(x) \geq \epsilon x^2 \)，我们需要找到\( \epsilon \)的最小值。为此，可以将不等式转化为\( \frac{f(x)}{x^2} \geq \epsilon \)。
3. 极限求解：由于\( f(x) \)在\([-1, 1]\)上连续，我们可以考虑求\( \frac{f(x)}{x^2} \)在\( x = 0 \)处的极限。根据洛必达法则，我们有：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{2x} \]
由于\( f(x) \)在\([-1, 1]\)上连续，\( f'(x) \)在\([-1, 1]\)上存在，因此该极限存在。
4. 结论得出：根据极限的存在性，\( \epsilon \)的最小值即为\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} \)的值。由于\( f(0) = 0 \)，故\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 0 \)。因此，\( \epsilon \)的最小值为0。
结论：
2021年考研数学二第10题的答案是\( \epsilon \)的最小值为0。
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