2021年数学二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
C. \( f(x) = x^2 \)
D. \( f(x) = \sqrt{x} \)
答案：C
解析：函数\( f(x) = x^2 \)在实数域内连续且可导。
2. 设\( f(x) = e^x \)，则\( f'(x) \)等于（ ）
A. \( e^x \)
B. \( e^x + x \)
C. \( e^x - x \)
D. \( e^x - 1 \)
答案：A
解析：\( f(x) = e^x \)的导数\( f'(x) = e^x \)。
3. 下列级数中，收敛的是（ ）
A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)
B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \)
D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \)
答案：A
解析：根据p级数收敛的必要条件，当\( p > 1 \)时，\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \)收敛。因此，选项A正确。
二、填空题
1. 设\( f(x) = \ln(x+1) \)，则\( f'(x) = \frac{1}{x+1} \)。
2. 设\( f(x) = e^x \)，则\( f''(x) = e^x \)。
3. 设\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
三、解答题
1. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)的极值。
答案：\( f(x) \)在\( x = -1 \)处取得极大值\( f(-1) = 4 \)，在\( x = 2 \)处取得极小值\( f(2) = -2 \)。
解析：首先求出\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = -1 \)和\( x = 2 \)。然后分别计算\( f(-1) \)和\( f(2) \)的值，得到极大值和极小值。
2. 求极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
解析：根据洛必达法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \)。
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