题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 首先求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x \) 的值。
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
\[ x = 1 \text{ 或 } x = 3 \]
3. 计算 \( f(1) \) 和 \( f(3) \) 的值。
\[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1 = 5 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 1 \]
4. 检查区间 \([1, 3]\) 端点的函数值。
\[ f(1) = 5 \]
\[ f(3) = 1 \]
5. 比较在 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 以及区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 处的函数值，确定最大值和最小值。
\[ \text{最大值} = f(1) = 5 \]
\[ \text{最小值} = f(3) = 1 \]
答案：函数 \( f(x) \) 在区间 \([1, 3]\) 上的最大值为 5，最小值为 1。
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