在考研高数二的题库中，一道经典难题如下：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上的最大值。
解答：首先，我们观察函数 \( f(x) \) 的定义域为 \([0, +\infty)\)。由于 \( 1+x^2 \) 在该区间内始终大于 1，因此 \( f(x) \) 为正值。接下来，我们考虑函数的导数，以便找到可能的极值点。
对 \( f(x) \) 求导，得：
\[ f'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 0 \)。由于 \( f'(x) \) 在 \( x > 0 \) 时始终小于 0，因此 \( x = 0 \) 是 \( f(x) \) 在 \([0, +\infty)\) 上的唯一极值点。同时，因为 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续，所以 \( x = 0 \) 也是 \( f(x) \) 在 \([0, +\infty)\) 上的最大值点。
因此，\( f(x) \) 在 \([0, +\infty)\) 上的最大值为 \( f(0) = 1 \)。
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