在2024年的数学考研中，一道典型的题目如下：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a \)，其中 \( a \) 为常数。若 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，求 \( a \) 的值。
解答过程：
1. 首先对函数 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极值，所以 \( f'(1) = 0 \)。
3. 将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得 \( 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 0 \)，解得 \( f'(1) = 0 \)。
4. 接下来，求 \( f(x) \) 的二阶导数 \( f''(x) = 6x - 12 \)。
5. 将 \( x = 1 \) 代入 \( f''(x) \) 中，得 \( f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \)，因为 \( f''(1) < 0 \)，所以 \( x = 1 \) 处是 \( f(x) \) 的极大值点。
6. 由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极大值，所以 \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + a = 4 + a \)。
7. 因为 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极大值，所以 \( 4 + a = 0 \)，解得 \( a = -4 \)。
所以，\( a \) 的值为 \(-4\)。
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