2023年考研数学一真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$，则 $f'(2) = \quad$（ ）
A. 2 B. -2 C. 0 D. 不存在
解析：当 $x=2$ 时，$f(x)$ 的定义域不包含 $x=2$，因此 $f'(2)$ 不存在。故选 D。
2. 若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A^{-1}$ 的行列式为（ ）
A. $|A|$ B. $\frac{1}{|A|}$ C. $|A|^{-1}$ D. $\frac{1}{|A|^{-1}}$
解析：$A$ 可逆，则 $|A|\neq 0$，$A^{-1}$ 的行列式为 $\frac{1}{|A|}$。故选 B。
二、填空题
1. 设 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$，则 $f(0) = \quad$（ ）
解析：$f(0) = \frac{0^2 - 1}{0 + 1} = -1$。故答案为 -1。
2. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则 $|A| = \quad$（ ）
解析：$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$。故答案为 -2。
三、解答题
1. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 的单调区间。
解析：首先求导 $f'(x) = 3x^2 - 3$，令 $f'(x) = 0$，得 $x = \pm 1$。当 $x < -1$ 时，$f'(x) > 0$；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$；当 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$。因此，函数 $f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$，单调减区间为 $(-1, 1)$。
2. 设 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，$A^2 = 0$，求 $A$ 的特征值和特征向量。
解析：由 $A^2 = 0$ 可知，$0$ 是 $A$ 的特征值。设 $\lambda$ 是 $A$ 的另一个特征值，则 $A$ 的特征多项式为 $|\lambda E - A| = (\lambda^2 - \lambda) = \lambda(\lambda - 1) = 0$。解得 $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1$。由于 $A^2 = 0$，故 $A$ 的特征向量对应的特征值为 $0$。
【考研刷题通】小程序，为您提供考研政治、英语、数学等全部科目的刷题服务，助您高效备战考研！快来体验吧！