在2017年考研数学二中，第17题是一道关于多元函数微分学的题目。题目要求考生求解函数 \( f(x, y) = e^{x+y} \) 在点 \( (1,2) \) 处沿方向 \( \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \) 的方向导数。
解题步骤如下：
1. 计算函数 \( f(x, y) \) 的偏导数：
\[
f_x' = \frac{\partial}{\partial x} e^{x+y} = e^{x+y}, \quad f_y' = \frac{\partial}{\partial y} e^{x+y} = e^{x+y}
\]
2. 在点 \( (1,2) \) 处，计算偏导数的值：
\[
f_x'(1,2) = e^{1+2} = e^3, \quad f_y'(1,2) = e^{1+2} = e^3
\]
3. 计算方向向量 \( \mathbf{u} \) 的单位向量：
\[
\mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right), \quad \text{单位向量} \mathbf{u}_0 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\]
4. 根据方向导数的定义，计算 \( f \) 在点 \( (1,2) \) 沿方向 \( \mathbf{u} \) 的方向导数：
\[
D_{\mathbf{u}} f(1,2) = f_x'(1,2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + f_y'(1,2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = e^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + e^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = e^3 \sqrt{2}
\]
因此，2017年考研数学二第17题的答案是 \( e^3 \sqrt{2} \)。
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