2019年考研数学二真题解析如下：
一、选择题部分
1. 证明：若\(f(x)\)在\((a, b)\)上连续，且\(f(a) = f(b)\)，则存在\(\xi \in (a, b)\)，使得\(f'(\xi) = 0\)。
2. 求极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}\)
3. 求不定积分：\(\int \frac{1}{x^2 - 1} dx\)
4. 求定积分：\(\int_0^1 (x^2 + 2x) e^x dx\)
5. 求二阶线性微分方程的通解：\(y'' - 2y' + 2y = 2\sin x\)
二、填空题部分
1. 设\(f(x) = e^x \sin x\)，则\(f'(x) = \)
2. 设\(f(x) = \ln(x + 1)\)，则\(f'(x) = \)
3. 设\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，则\(f'(x) = \)
4. 设\(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)，则\(f'(x) = \)
5. 设\(f(x) = \sin x\)，则\(f''(x) = \)
三、解答题部分
1. 证明：若\(f(x)\)在\([a, b]\)上连续，在\((a, b)\)内可导，且\(f'(a) = f'(b)\)，则存在\(\xi \in (a, b)\)，使得\(f'(\xi) = 0\)。
2. 求极限：\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)
3. 求不定积分：\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} dx\)
4. 求定积分：\(\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{x} dx\)
5. 求二阶线性微分方程的通解：\(y'' + 4y = e^x\)
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