在2019年数二考研中，考生们面临了一系列挑战性的数学题目。以下是对部分真题的原创解析及答案：
1. 解析题：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值点。
答案：首先求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。再求二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，代入$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$，得$f''(1) = 0$，$f''(\frac{2}{3}) = -2$。因此，$x = 1$是拐点，$x = \frac{2}{3}$是极大值点。
2. 线性代数题：设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
答案：计算特征多项式$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 5\lambda + 1$，解得$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 4$。对于$\lambda_1 = 1$，解方程组$(A - I)x = 0$，得特征向量$\alpha_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$；对于$\lambda_2 = 4$，解方程组$(A - 4I)x = 0$，得特征向量$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
3. 概率题：设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，求$P(X = 2)$。
答案：根据泊松分布的概率质量函数$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，代入$k = 2$，得$P(X = 2) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!} = \frac{\lambda^2}{2}e^{-\lambda}$。
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