2022年考研数学二第17题：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。
解题过程如下：
首先，求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$：
$$f'(x)=3x^2-6x+4$$
然后，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。
接下来，判断$f'(x)$在区间$[1,3]$上的符号：
当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$；
当$\frac{2}{3}
因此，$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$处取得局部极大值，在$x=1$处取得局部极小值。
计算$f(\frac{2}{3})$和$f(1)$的值：
$$f(\frac{2}{3})=\frac{8}{27}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}-6=-\frac{128}{27}$$
$$f(1)=-2$$
最后，比较$f(x)$在端点$x=1$和$x=3$的值：
$$f(3)=3^3-3\times3^2+4\times3-6=0$$
综上所述，$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值为$0$，最小值为$-\frac{128}{27}$。
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