2017年考研数学二真题解答题第一题主要考查的是多元函数微分学的应用，具体内容如下：
题目：已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，求在点 \( (1, 2) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} = (2, 1) \) 的方向导数。
解答步骤：
1. 计算函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 2) \) 处的全微分 \( df \)：
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \]
\[ df = 2x dx + 2y dy \]
在点 \( (1, 2) \) 处，\( df = 2dx + 4dy \)。
2. 计算向量 \( \mathbf{v} \) 的模长：
\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \]
3. 计算向量 \( \mathbf{v} \) 的单位向量 \( \mathbf{u} \)：
\[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \]
4. 将单位向量 \( \mathbf{u} \) 代入全微分 \( df \) 中，得到方向导数：
\[ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} = df \cdot \mathbf{u} = (2dx + 4dy) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \]
\[ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} = \frac{4}{\sqrt{5}} dx + \frac{4}{\sqrt{5}} dy \]
最终答案：在点 \( (1, 2) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} = (2, 1) \) 的方向导数为 \( \frac{4}{\sqrt{5}} \)。
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