在考研数学中，以下是一道经典的题目：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x + 9}{x^2 - 3x + 2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=3 \) 处的导数。
解题过程：
首先，对 \( f(x) \) 进行简化，可以分解分母得 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x + 9}{(x-1)(x-2)} \)。注意到分子可以写成 \( (x-3)^2 \)，所以 \( f(x) = \frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-2)} \)。
接下来，使用商的导数法则 \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)，其中 \( u = (x-3)^2 \) 和 \( v = (x-1)(x-2) \)。
计算 \( u' \) 和 \( v' \)：
\( u' = 2(x-3) \)
\( v' = (x-1)'(x-2) + (x-1)(x-2)' = 1(x-2) + (x-1) \cdot 1 = 2x - 3 \)
代入商的导数法则：
\( f'(x) = \frac{2(x-3)(x-1)(x-2) - (x-3)^2(2x-3)}{(x-1)^2(x-2)^2} \)
将 \( x=3 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得到：
\( f'(3) = \frac{2(3-3)(3-1)(3-2) - (3-3)^2(2 \cdot 3 - 3)}{(3-1)^2(3-2)^2} = 0 \)
所以，\( f(x) \) 在 \( x=3 \) 处的导数为 0。
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