2022年考研数一真题及答案如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$在$x=1$处取得极值，则此极值为：
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
答案：C
2. 设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$等于：
A. 3 B. 9 C. 0 D. 1/3
答案：A
3. 若向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，向量$\vec{b} = (2, 1, -1)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b}$的值为：
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
答案：C
4. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A)$的最大值为：
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
答案：A
5. 设$f(x) = x^2 - 4x + 4$，则$f'(x)$等于：
A. $2x - 4$ B. $2x - 2$ C. $x - 2$ D. $x + 2$
答案：A
二、填空题
6. 若$\int_0^1 (x^2 + 1) \, dx = \frac{2}{3}$，则$\int_0^1 (x^2 - 1) \, dx = \frac{2}{3}$。
答案：$\frac{2}{3}$
7. 设$y = \ln(x^2 + 1)$，则$y'$等于$\frac{2x}{x^2 + 1}$。
答案：$\frac{2x}{x^2 + 1}$
8. 设$\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 1, -1)$，则$\vec{a} \times \vec{b}$等于$(1, -5, 3)$。
答案：$(1, -5, 3)$
三、解答题
9. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2y$。
（解答过程略）
10. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，$A^2 = 0$，证明$r(A) \leq 2$。
（解答过程略）
四、证明题
11. 证明：若$f(x)$在$(0, +\infty)$上连续，且$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x^2)}{x} = 2$。
（解答过程略）
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