考研数学二2025年最后一题答案如下：
【解析】
本题考查了多元函数微分学的应用。首先，我们需要求出函数在点 $(1,1,1)$ 处的偏导数。根据多元函数微分学的公式，有：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial z} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + z^2}
$$
将点 $(1,1,1)$ 代入上述偏导数公式，得到：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2}{3}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2}{3}, \quad \frac{\partial z}{\partial z} = \frac{1}{3}
$$
接下来，我们需要求出函数在点 $(1,1,1)$ 处的全微分。根据多元函数微分学的公式，有：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy + \frac{\partial z}{\partial z}dz
$$
将偏导数代入上式，得到：
$$
dz = \frac{2}{3}dx + \frac{2}{3}dy + \frac{1}{3}dz
$$
因此，函数在点 $(1,1,1)$ 处的全微分 $dz$ 为 $\frac{2}{3}dx + \frac{2}{3}dy + \frac{1}{3}dz$。
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