考研05年数学21题解析如下：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解答：
1. 首先对函数 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 分别计算 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 时的函数值，即 \( f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 = 4 \) 和 \( f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 = 0 \)。
4. 对 \( f'(x) \) 的符号进行检验，当 \( x < 1 \) 或 \( x > 3 \) 时，\( f'(x) > 0 \)；当 \( 1 < x < 3 \) 时，\( f'(x) < 0 \)。
5. 由此可知，\( x = 1 \) 是局部极大值点，\( x = 3 \) 是局部极小值点。
6. 故 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极大值4，在 \( x = 3 \) 处取得极小值0。
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