考研数学二15题真题解析

考研数学二真题第15题解析如下：

题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的极值。

解题步骤：

1. 求导：$f'(x)=3x^2-6x+4$。

2. 求导数的零点：$3x^2-6x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。

3. 判断极值：当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$\frac{2}{3}1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。

4. 计算$f(x)$在$x_1=1$和$x_2=\frac{2}{3}$处的函数值：$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1+1=3$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^3-3\times\left(\frac{2}{3}\right)^2+4\times\frac{2}{3}+1=\frac{11}{27}$。

5. 结论：$f(x)$在$x=1$处取得极大值3，在$x=\frac{2}{3}$处取得极小值$\frac{11}{27}$。

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