2015年数二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查函数的极限。首先，利用洛必达法则求极限，得到$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。接着，由夹逼定理，$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$。
2. 解析：本题考查二重积分的计算。通过换元法，将积分区域转换为极坐标，计算得到积分值为$\frac{\pi}{2}$。
二、填空题
1. 解析：本题考查行列式的计算。通过按行展开，计算得到行列式的值为$3$。
2. 解析：本题考查级数的收敛性。通过比值判别法，判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛。
三、解答题
1. 解析：本题考查函数的极值。首先求导，得到一阶导数为$f'(x) = 3x^2 - 6x + 9$，令其为零解得$x = 1$。然后求二阶导数，得到$f''(x) = 6x - 6$，代入$x = 1$，得到$f''(1) = 0$。因此，$x = 1$是驻点，进一步分析可知$x = 1$是极大值点。
2. 解析：本题考查矩阵的特征值和特征向量。首先计算特征多项式，得到特征值$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 4$。然后分别求出对应特征向量。
3. 解析：本题考查常系数线性微分方程的解。首先写出微分方程，然后通过求解特征方程，得到通解。
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