在考研数学中，求弧长的经典真题如下：
真题示例：
设函数 \( f(x) = \sqrt{1+x^2} \) 在区间 \([0, 1]\) 上，求曲线 \( y = f(x) \) 的弧长 \( L \)。
解题思路：
1. 确定弧长公式：弧长 \( L \) 可以通过积分求得，公式为 \( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \)。
2. 求导数：计算 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
3. 带入公式：将 \( f'(x) \) 带入弧长公式中，进行积分计算。
解题步骤：
1. 计算 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{1+x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]
2. 带入弧长公式：
\[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2} \, dx \]
3. 化简并计算积分：
\[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1+x^2+x^2}{1+x^2}} \, dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \frac{2x^2}{1+x^2}} \, dx \]
通过换元法或直接计算，得到 \( L = \frac{\pi}{2} - 1 \)。
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