2019年考研数学二卷真题解析如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 不存在
解析：根据导数的定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2+1} = 1$。
答案：A
2. 设$a, b$为实数，且$a^2 + b^2 = 1$，则$\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab}$的值为（ ）
A. 1 B. $\sqrt{2}$ C. 2 D. $\sqrt{3}$
解析：由$a^2 + b^2 = 1$，得$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1 + 2ab$，所以$\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab} = \sqrt{1 + 2ab} = \sqrt{2}$。
答案：B
3. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(x)$的零点为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 3
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，得$x^2 = 1$，所以$x = \pm 1$。又因为$f'(x)$为二次函数，开口向上，所以$f'(x)$的零点为$x = \pm 1$。
答案：B
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
4. 设$f(x) = e^x + \ln x$，则$f'(x)$的值为______。
解析：$f'(x) = e^x + \frac{1}{x}$。
答案：$e^x + \frac{1}{x}$
5. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(x)$的值为______。
解析：$f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2} = 1$。
答案：1
三、解答题（共4小题，每小题25分，共100分）
6. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，得$x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{3}$。当$x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}$时，$f''(x) = 6x - 6 < 0$，所以$f(x)$在$x = \frac{2 - \sqrt{2}}{3}$处取得极大值；当$x = \frac{2 + \sqrt{2}}{3}$时，$f''(x) = 6x - 6 > 0$，所以$f(x)$在$x = \frac{2 + \sqrt{2}}{3}$处取得极小值。
答案：极大值为$f\left(\frac{2 - \sqrt{2}}{3}\right) = \frac{5 - 2\sqrt{2}}{3}$，极小值为$f\left(\frac{2 + \sqrt{2}}{3}\right) = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{3}$。
7. 求曲线$y = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$在$x = 1$处的切线方程。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，所以切线斜率$k = f'(1) = 1$。又因为切点为$(1, 1)$，所以切线方程为$y - 1 = 1(x - 1)$，即$y = x$。
答案：切线方程为$y = x$。
8. 求函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$的导数。
解析：$f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2} = 1$。
答案：$f'(x) = 1$。
9. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解析：根据洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
答案：1。
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