在2009年考研数学中，第十一题是一道综合应用题，涉及多元函数的极值问题和线性规划。以下是该题的原创解答：
题目：已知函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 3x - 6y + 10 \)，求该函数在区域 \( D: x^2 + y^2 \leq 4 \) 内的最大值和最小值。
解答：
首先，我们求函数 \( f(x, y) \) 的偏导数：
\[ f_x = 2x - 2y + 3 \]
\[ f_y = 2y - 2x - 6 \]
令 \( f_x = 0 \) 和 \( f_y = 0 \)，解得驻点：
\[ 2x - 2y + 3 = 0 \]
\[ 2y - 2x - 6 = 0 \]
解得 \( x = 1, y = -1 \)。
接着，我们检查驻点是否在区域 \( D \) 内，显然 \( (1, -1) \) 在 \( D \) 内。
然后，我们考虑区域 \( D \) 的边界，即圆 \( x^2 + y^2 = 4 \)。将 \( y \) 用 \( x \) 表示，得 \( y = \pm\sqrt{4 - x^2} \)。
将 \( y \) 的表达式代入 \( f(x, y) \)，得：
\[ f(x, \pm\sqrt{4 - x^2}) = x^2 + (\pm\sqrt{4 - x^2})^2 - 2x(\pm\sqrt{4 - x^2}) + 3x - 6(\pm\sqrt{4 - x^2}) + 10 \]
\[ = 2x^2 - 2x\sqrt{4 - x^2} + 3x - 6\sqrt{4 - x^2} + 10 \]
对 \( x \) 求导，得：
\[ f'(x) = 4x - 2\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} - 2\sqrt{4 - x^2} + 3 \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 0, \pm\sqrt{2} \)。
将 \( x = 0, \pm\sqrt{2} \) 代入 \( f(x, \pm\sqrt{4 - x^2}) \)，得：
\[ f(0, \pm2) = 10 \]
\[ f(\pm\sqrt{2}, \pm\sqrt{2}) = 10 \]
综上，函数 \( f(x, y) \) 在区域 \( D \) 内的最大值和最小值均为 10。
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