在备战考研数学的过程中，模拟卷是检验学习成果的重要工具。以下是一份精心准备的考研数学一模拟试卷，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等核心内容，旨在帮助考生全面复习，提升解题能力。
一、填空题（每空2分，共10分）
1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f'(x) = \) ________。
2. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式为 \( \) ________。
3. 设随机变量 \( X \) 服从标准正态分布，则 \( P(X > 0) = \) ________。
4. 线性方程组 \( \begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - y = 3 \end{cases} \) 的解为 \( \) ________。
5. 设 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(x) = \) ________。
二、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列函数中，可导的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = \sqrt[3]{x} \)
C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
D. \( f(x) = x^2 \)
2. 矩阵 \( A \) 的逆矩阵存在，则（ ）
A. \( A \) 必须是方阵
B. \( A \) 必须是可逆矩阵
C. \( A \) 必须是对称矩阵
D. \( A \) 必须是正交矩阵
3. 设随机变量 \( X \) 服从二项分布 \( B(n, p) \)，则 \( E(X) = \) ________。
4. 线性方程组 \( \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + 3z = 3 \end{cases} \) 的解为（ ）
A. \( x = 0, y = 0, z = 1 \)
B. \( x = 1, y = 1, z = 1 \)
C. \( x = 2, y = 2, z = 2 \)
D. 无解
5. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f''(x) = \) ________。
三、解答题（每题10分，共30分）
1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的导数。
2. 求矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵。
3. 设随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，求 \( P(X > \mu + \sigma) \)。
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，则 \( f(x) \) 在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \( \xi \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
2. 证明：若 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 的秩 \( r(A) \leq \frac{n}{2} \)。
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